旋转矩阵的理解

active transformation

由于运动是相对的，所以分为主动和被动的变换，就例如我主动平移点是一种平移，我变换坐标轴也是一种平移

passive transformation

如果一般的三维重构的话，应该考虑都是被动的变换，因为点是不变的变得是自己的视角 [ \tilde{X}c = \begin{pmatrix} I & t{cw} \ 0 & 1 \end{pmatrix} \tilde{X}_w ]

\[X_c = X_w + t_{cw}\]

在三维重构的场景中，应该把X_w看作是不变的，变得是t

Active or Passive?

Passive!
相机动了，但是 3D 点没动，所以应该按 Passive 理解。

那么：

\[X_c = X_w - (- t_{cw}) = X_{w}-t_{wc}\]

• $t_wc$ 也是相机光心在世界坐标系中的坐标，也是实实在在的向量，可被直观、可视化、几何图形化地理解。
• $t_cw$ 也是相机光心指向世界坐标系，摄像头看世界

那么旋转矩阵 $R$ 呢？

\[X_c = R_{cw} X_w\]

向量和坐标？ 坐标是系数，只是几个数，向量是有方向的（从原点开始的） 有了基向量才能明确坐标

坐标是用来线性组合基的

矩阵可以理解为对基向量用坐标的加权求和，矩阵乘法本质上是一种线性变换，它可以通过基向量的线性组合来表示向量在不同坐标系中的变化 这是按照列空间来理解的

Vector Rotation

它是一个动作，一个函数，一个过程，只不过是用rotation matrix来表达这个函数

From Wikipedia, the free encyclopedia

In linear algebra, a rotation matrix is a transformation matrix that

[ R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ]

rotates points in the xy plane counterclockwise through an angle (\theta) perform the rotation on a plane point with standard coordinates (\mathbf{v})

[ R\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \ x \sin \theta + y \cos \theta \end{bmatrix}. ]

矩阵乘法看作是变基，就像是把原本的点映射到了一个新的坐标系一样 所以\(R_{cw}的行\)或者是 \(R_{wc}的列\) 可以看作是摄像机坐标系下的三个基向量在世界坐标系下的表示 由于 R wc 是 R cw的逆，它们在几何上描述了相反的变换，因此它们的行和列向量分别表示相反的基向量关系

[ \tilde{X}c = M{cw} \tilde{X}w = \begin{pmatrix} R & t \ 0 & 1 \end{pmatrix} \tilde{X}*w = \begin{pmatrix} R*{cw} & t{cw} \ 0 & 1 \end{pmatrix} \tilde{X}_w ]

[ \tilde{X}w = M{wc} \tilde{X}c = \begin{pmatrix} R^T & -R^T t \ 0 & 1 \end{pmatrix} \tilde{X}*c = \begin{pmatrix} R*{wc} & t{wc} \ 0 & 1 \end{pmatrix} \tilde{X}_c ]